গড় নির্ণয়
গড় নির্ণয়ের বেশ কয়েকটা ভাগ আছে। যেমন-
ক) উপাত্ত হতে গাণিতিক গড়
খ) সারণি হতে গাণিতিক গড়
উপাত্ত হতে গাণিতিক গড় আবার বেশ কয়েকভাবে করা যায়। যেমন-
১. সরাসরি বাংলা সুত্র প্রয়োগ করে গড় নির্ণয়।
২. ইংরেজি (গাণিতিক) সুত্র প্রয়োগ করে গড় নির্ণয়।
৩. উপাত্ত থেকে টেবিল তৈরি করে গাণিতিক গড় নির্ণয়।
৪. টেবিল থেকে সংক্ষিপ্ত পদ্ধিতিতে গড় নির্ণয়।
সারণি হতে গাণিতিক গড় নির্ণয় আবার দু'ভাবে হয়ে থাকে।
১. সারণি থেকে গাণিতিক গড় নির্ণয়।
২. সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়।
যে অংক সম্পর্কে জানতে চান, সেই অংকের উপর ক্লিক করুন।
1. সরাসরি বাংলা সূত্র প্রয়োগ করে গড় নির্ণয়
প্রাথমিক আলোচনা (To interpret as private):
🌹প্রথমে উপাত্তের গড়ের সুত্র লিখতে হবে।
🌹তারপর উপাত্তগুলো যোগ আকারে লবে বসাতে হবে এবং মোট কতটি উপাত্ত তা হরে বসাতে হবে।
🌹লবেরগুলো অর্থাৎ সবগৃলো উপাত্ত যোগ করে লবে বসিয়ে হর দিয়ে হর (মোট উপাত্ত) দিয়ে ভাগ করতে হবে।
উপাত্তের হতে গড়ের সুত্র: মোট উপাত্তের সমষ্টি / মোট উপাত্ত
প্রশ্ন: ৯, ১৫, ১২, ৭, ১৩, ১১, ৯, ১৩, ১৭, ৬ এর গড় নির্ণয় কর।
সমাধান:
সকল সংখ্যার যোগফল নির্ণয়
৯ + ১৫ + ১২ + ৭ + ১৩ + ১১ + ৯ + ১৩ + ১৭ + ৬ = ১১২
মোট সংখ্যা = ১০
গড় = (সকল সংখ্যার যোগফল) ÷ মোট সংখ্যা
= ১১২ / ১০
= ১১.২
∴ গড় = ১১.২
(উত্তর: ১১.২)
2. ইংরেজি (গাণিতিক) সূত্র প্রয়োগ করে গড় নির্ণয়
প্রাথমিক আলোচনা (To interpret as private):
🏵️ সুত্র সামেশন fixi / n বসাতে হবে।
🏵️ সামেশন fixi এর জায়গায় উপাত্তের মোট সমষ্টি বসাতে হবে। এবং n এর জায়গায় মোট উপাত্ত বসাতে হবে।
🏵️ অবশেষে লবের যোগফলের সাথে মোট উপাত্ত (হর) দিয়ে ভাগ করলেই উত্তর আসবে।
অবশেষে লবের যোগফলের সাথে মোট উপাত্ত (n) দিয়ে ভাগ করলেই উত্তর আসবে।
প্রশ্ন: ৯, ১৫, ১২, ৭, ১৩, ১১, ৯, ১৩, ১৭, ৬ এর গড় নির্ণয় কর।
সমাধান:
প্রদত্ত উপাত্ত (Given data): Xi = 9, 15, 12, 7, 13, 11, 9, 13, 17, 6
n = 10 (মোট 10টি উপাত্ত)
আমরা জানি, গড় = Σfixi / n
Σfixi = 9+15+12+7+13+11+9+13+17+6 = 112
n= 10
x̄ = Σfixi / n
= 112 / 10
∴ x̄ = 11.2 (চূড়ান্ত উত্তর)
উপাত্ত হতে টেবিল তৈরি করে গাণিতিক গড় নির্ণয়
উপাত্তগুলো দিয়ে গাণিতিক গড় নির্ণয় কর।
প্রাথমিক আলোচনা (To interpret as private):
উপাত্তগুলোকে অনুধাবন করে শ্রেণিব্যপ্তি তৈরি করতে হবে।
🌹 ৫ কলামবিশিষ্ট ৪ ঘরের একটি টেবিল তৈরি করতে হবে। [শ্রেণিব্যপ্তি, মধ্যমান(xi), গণসংখ্যা(fi) এবং fixi
🌹 তারপর উপরের সুত্র বসিয়ে অংক করলেই হবে।
প্রশ্ন:- কোনো বিদ্যালয়ের বার্ষিক পরীক্ষায় ৯ম শ্রেণির ৫০ জন শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বরগুলো নিম্নরূপ:
76, 65, 98, 79, 64, 68, 56, 73, 83, 57, 55, 92, 45, 77, 87, 46, 32, 75, 89, 48, 97, 88, 65, 73, 93, 58, 41, 69, 63, 39, 84, 56, 45, 73, 93, 62, 67, 69, 65, 53,78, 64, 85, 53, 73, 34, 75, 82, 67, 62
সমাধান:
উপাত্ত থেকে ১০ ব্যবধান ধরে গাণিতিক গড় নির্ণয়ের টেবিল নিম্নরুপ।
| শ্রেণি ব্যপ্তি | গণসংখ্যা (fi) | মধ্যবিন্দু (xi) | fixi |
| 30 - 39 | 3 | 34.5 | 103.5 |
| 40 - 49 | 5 | 44.5 | 222.5 |
| 50 - 59 | 7 | 54.5 | 381.5 |
| 60 - 69 | 13 | 64.5 | 838.5 |
| 70 - 79 | 10 | 74.5 | 745 |
| 80 - 89 | 7 | 84.5 | 591.5 |
| 90 - 99 | 5 | 94.5 | 472.5 |
| মোট | n = 50 | | Σfixi = 3355 |
আমরা জানি, গাণিতিক গড় x̄ = Σfixi / n
= 3355 / 50
∴ x̄ = 67.1 (শ্রেণিকৃত গড়)
বি:দ্র: অবিন্যস্ত উপাত্তের প্রকৃত গড় = 3391/50 = 67.82
উপাত্ত হতে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়:
প্রশ্ন: কোনো বিদ্যালয়ের বার্ষিক পরীক্ষায় ৯ম শ্রেণির ৫০ জন শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বরগুলো নিম্নরূপ:
76, 65, 98, 79, 64, 68, 56, 73, 83, 57, 55, 92, 45, 77, 87, 46, 32, 75, 89, 48, 97, 88, 65, 73, 93, 58, 41, 69, 63, 39, 84, 56, 45, 73, 93, 62, 67, 69, 65, 53,78, 64, 85, 53, 73, 34, 75, 82, 67, 62
ধরি, কল্পিত গড় A = 64.5 এবং h = 10
| শ্রেণি | f | x | u=(x-A)/h | f*u |
| 30-39 | 3 | 34.5 | -3 | -9 |
| 40-49 | 5 | 44.5 | -2 | -10 |
| 50-59 | 7 | 54.5 | -1 | -7 |
| 60-69 | 13 | 64.5 | 0 | 0 |
| 70-79 | 10 | 74.5 | 1 | 10 |
| 80-89 | 7 | 84.5 | 2 | 14 |
| 90-99 | 5 | 94.5 | 3 | 15 |
| মোট | 50 | | | 13 |
আমরা জানি,
সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় x̄ = a + (Σfu/n)*h
= 64.5 + (13/50)*10
= 67.1
উত্তর: 67.1
সারণি হতে গড় নির্ণয়
সারণি হতে গাণিতিক গড় নির্ণয়
কোনো এক ক্লাসের ইংরেজির প্রাপ্ত নম্বরের গণসংঅ্যা নিবেশন সারণি নিচে দেওয়া হলো। প্রাপ্ত নম্বরের গাণিতিক গড় নির্ণয় করো।
| শ্রেণি ব্যপ্তি | 25-34 | 35-44 | 45-54 | 55-64 | 65-74 | 75-84 | 85-94 |
| গণসংখ্যা | 5 | 10 | 15 | 20 | 30 | 16 | 4 |
সমাধান:
গণসংখ্যা নিবেশন সারণি আলোকে গড় নির্ণয়ের সারণি নিচে দেওয়া হলো।
শ্রেণি ব্যপ্তি
(Class) | গণসংখ্যা
fi | মধ্যবিন্দু
xi = (উচ্চ+নিম্ন)/2 | fixi |
| 25 - 34 | 5 | 29.5 | 147.5 |
| 35 - 44 | 10 | 39.5 | 395 |
| 45 - 54 | 15 | 49.5 | 742.5 |
| 55 - 64 | 20 | 59.5 | 1190 |
| 65 - 74 | 30 | 69.5 | 2085 |
| 75 - 84 | 16 | 79.5 | 1272 |
| 85 - 94 | 4 | 89.5 | 358 |
| মোট | n = 100 | | Σfixi = 6190 |
আমরা জানি, গাণিতিক গড়ের সূত্র: x̄ = Σfixi / n
= 6190 / 100
∴ x̄ = 61.9 (চূড়ান্ত উত্তর)
সারণি হতে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়
প্রাথমিক আলোচনা (To interpret as private):
🌹 সারণি হতে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় করতে গেলে, মোট ৬ টি কলাম দিয়ে ৫ টি ঘর কাটতে হবে।
শ্রেণিব্যপ্তি, মধ্যমান (xi), গণসংখ্যা(fi), ধাপবিচ্যুতি (ui = xi-a/h) ও গণসংখ্যা ধাপবিচ্যুতি (fiui)
🌹 শ্রেণিব্যপ্তির সর্বনিম্ন সংখ্যা ও সর্বোচ্চ সংখ্যা যোগ করে দুই দিয়ে ভাগ করলে মধ্যমান বের হবে।
🌹 a = কল্পিত গড় (Assumed Mean/Arbitrary Origin) একে অনুমিত গড় বা ধার্যকৃত গড় ও বলা হয়। মাঝামাঝি কোনো একটা xi কে a ধরা হয়। সর্বাধিক গণসংখ্যা বরাবর xi (মধ্যমান) ধরা হয়।
🌹ui= ধাপ-বিচ্যুতি বা পদ-বিচ্যুতি চলক (Step-Deviation Variable). সংকেতাক্ষর বা Coded Variable ও বলা হয়।
X₁ = প্রতিটি শ্রেণির মধ্যবিন্দু (Class Mark)
h = শ্রেণি ব্যবধান (Class Size)
U₁ = ধাপ বিচ্যুতি
সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়
কোনো একটি ক্লাসের গণিতের প্রাপ্ত নম্বর দেওয়া হলো।
| শ্রেণি ব্যাপ্তি | ২৫-৩৪ | ৩৫-৪৪ | ৪৫-৫৪ | ৫৫-৬৪ | ৬৫-৭৪ | ৭৫-৮৪ | ৮৫-৯৪ |
|---|
| গণসংখ্যা (f) | ৫ | ১০ | ১৫ | ২০ | ৩০ | ১৬ | ৪ |
|---|
সমাধান:
গণসংখ্যা নিবেশন সারণি আলোকে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সারণি তৈরি করা হলো।
| শ্রেণি ব্যাপ্তি | মধ্যবিন্দু (xi) | গণসংখ্যা (fi) | ধাপ বিচ্যুতি ui = (xi - A)/h | fi×ui |
|---|
| ২৫-৩৪ | ২৯.৫ | ৫ | -৩ | -১৫ |
| ৩৫-৪৪ | ৩৯.৫ | ১০ | -২ | -২০ |
| ৪৫-৫৪ | ৪৯.৫ | ১৫ | -১ | -১৫ |
| ৫৫-৬৪ | ৫৯.৫ (a) | ২০ | ০ | ০ |
| ৬৫-৭৪ | ৬৯.৫ | ৩০ | ১ | ৩০ |
| ৭৫-৮৪ | ৭৯.৫ | ১৬ | ২ | ৩২ |
| ৮৫-৯৪ | ৮৯.৫ | ৪ | ৩ | ১২ |
| মোট | n = ১০০ | | Σfiui = ২৪ |
|---|
মনে করি, কল্পিত গড় A = ৫৯.৫ (মধ্যবর্তী শ্রেণির মধ্যবিন্দু)
শ্রেণি ব্যবধান h = ১০
n= ১০০
সূত্র:
সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড়, x̄ = A + (Σfiui / n) × h
= ৫৯.৫ + (২৪ / ১০০) × ১০
= ৫৯.৫ + ০.২৪ × ১০
= ৫৯.৫ + ২.৪
= ৬১.৯
∴ নির্ণেয় গড় ৬১.৯
মন্তব্যসমূহ
একটি মন্তব্য পোস্ট করুন
আপনার মূল্যবান মতামত জানাতে ভুলবেন না, আপনার একটি কমেন্ট আমাদেরকে আরও ভালো লিখতে উৎসাহিত করে। কোনো প্রশ্ন থাকলে Whatsapp এ যোগাযোগ করুন।